Les conditions précises d'existence de l'expression d'une primitive sont explicitées par le théorème de Liouville. Toute fonction réelle continue sur un intervalle, voire continue par morceaux, admet une primitive. En revanche, une fonction holomorphe sur un ouvert de n'admet une primitive que si son intégrale curviligne sur tout lacet est nulle (par exemple si l' ouvert de définition est simplement connexe, d'après le théorème intégral de Cauchy). Méthodes de calcul [ modifier | modifier le code] Formulaire [ modifier | modifier le code] Chacune des primitives indiquées ici permet de déterminer toutes les autres primitives en ajoutant des constantes (éventuellement différentes d'une composante connexe à l'autre du domaine). Primitives élémentaires (avec),, (avec, ) En particulier, la fonction exponentielle est une primitive d'elle-même. Ce tableau inclut les primitives des inverses de fonctions puissances avec la règle, la racine carrée par, et plus généralement les racines d'ordre supérieur par.
Par exemple, pour une équation du premier ordre sous forme résolue, en notant F une primitive de, on obtient que les fonctions solutions sont de la forme, où est une réciproque partielle de F. Pour une variable aléatoire réelle à densité, la fonction de répartition est une primitive de la fonction de densité. Calcul automatique [ modifier | modifier le code] Des logiciels comme Maxima, SageMath, Maple ou Mathematica permettent depuis quelques années de calculer interactivement certaines primitives sous forme symbolique. Le premier logiciel permettant d'effectuer de l'intégration assistée par ordinateur sous forme symbolique était le langage FORMAC, utilisé par les physiciens dans les années 1970. Il n'est cependant pas possible en général d'exprimer les primitives de fonctions élémentaires (comme celles de la fonction) à l'aide de fonctions élémentaires seules (d'où la nécessité d'introduire des « fonctions spéciales » telles que la fonction logarithme intégral, li); des conditions précises pour qu'une primitive « élémentaire » explicite existe sont données par un théorème de Liouville, et il est même possible d'automatiser complètement la recherche de telles primitives, grâce à l' algorithme de Risch.
Intégration par partie Pour le calcul de certaines fonctions, le calculateur est en mesure d'utiliser l' intégration par partie. La formule utilisée est la suivante: Soit f et g deux fonctions continues, `int(f'g)=fg-int(fg')` Ainsi par exemple pour calculer une primitive de `x*sin(x)`, le calculateur utilise l'intégration par partie, pour obtenir le résultat, il faut saisir primitive(`x*sin(x);x`), après calcul, le résultat sin(x)-x*cos(x) est renvoyé avec les étapes et le détail des calculs. Comment intégrer une fonction?
Pour les articles homonymes, voir Primitif. En mathématiques, une primitive d'une fonction réelle (ou holomorphe) f est une fonction F dont f est la dérivée:. Il s'agit donc d'un antécédent pour l'opération de dérivation. La détermination d'une primitive sert d'abord au calcul des intégrales de fonctions continues sur un segment, en application du théorème fondamental de l'analyse.
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