Donc la pente de la droite (AB) tend vers la pente de la tangente. Or le coefficient directeur (ou pente) de la droite (AB) est égal à: Donc, la pente de la tangente à la courbe en A peut être vue comme étant la limite lorsque x B tend vers x A du quotient. 5. 2 Equation de la tangente: Si la fonction f est dérivable en x 0 alors la courbe de la fonction f admet au point M( x 0; f ( x 0)) une tangente dont l'équation réduite est: y = f' ( x 0). (x - x 0) + f ( x 0) Déterminons l'équation réduite de la tangente dans le cas de notre premier exemple. Cette fonction f est définie par: f (x) = 2. Nombre dérivé d'une fonction en un point - Maxicours. x 2 + 1 Déterminons l'équation de la tangente D à sa courbe en x 0 = 1. Nous savons déjà que: f(1) = 3 f'(1) = 4. L'équation réduite de la droite D est donc: y = f'( x 0). (x - x 0) + f( x 0) = 4. (x - 1) + 3 = 4. x - 1.
C'est assez long et technique (environ 5 minutes) mais c'est un très bon exercice! ( voir la correction). Équation de la tangente Pour une fonction f et une abscisse a donnés, la formule ci-dessous donne l'équation de la tangente à la courbe de f en a. Formule La tangente à la courbe d'une fonction f au point d'abscisse a a toujours pour équation: Utilisation Pour calculer l'équation de la tangente à la courbe d'une fonction f en un point d'abscisse a: 1. On calcule f(a) et f'(a). 2. On remplace les résultats obtenus dans la formule. 3. On développe et réduit le résultat. Équation de la tangente à la courbe de en a=2. 1. f(2)=4 et f'(2)=4. 2. y=4(x-2)+4. 11. Lire graphiquement le nombre dérivé – Cours Galilée. 3. y=4x-4. Sur le même thème • Cours de troisième sur les fonctions. Calcul et lecture d'antécédent, les fonctions affines. • Cours de seconde sur les fonctions. Ensemble de définition, variation de fonction, tableau de variation, les fonctions carré et inverse. • Cours de première sur l'étude de fonction. Etude des variations d'une fonction, fonctions usuelles.
Dans ce cas, la limite du taux de variation $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ quand $h$ tend vers $0$ est appelé le nombre dérivé de $\boldsymbol{f}$ en $\boldsymbol{a}$. On le note $\boldsymbol{f'(a)}$. Remarques: Le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a+h$ est $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{a+h-a}=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$. On note également $f'(a)=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$. Le point $M$ d'abscisse $a+h$ est donc infiniment proche du point $A$ d'abscisse $a$. Exemples: On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x)=3x^2-x-4$. Les nombres dérivés les. On veut calculer, s'il existe, $f'(2)$. On considère un réel $h$ non nul. Le taux de variation de la fonction $f$ entre $2$ et $2+h$ est: $$\begin{align*} \dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}&=\dfrac{3(2+h)^2-(2+h)-4-\left(3\times 2^2-2-4\right)}{h} \\ &=\dfrac{3\left(4+4h+h^2\right)-2-h-4-(12-6)}{h}\\ &=\dfrac{12+12h+3h^2-2-h-4-6}{h} \\ &=\dfrac{11h+3h^2}{h}\\ &=11+3h\end{align*}$$ Quand $h$ tend vers $0$ le nombre $3h$ tend également vers $0$. Par conséquent: $$\begin{align*} f'(2)&=\lim\limits_{h\to 0} (11+3h) \\ &=11\end{align*}$$ Le nombre dérivé de la fonction $f$ en $2$ est $f'(2)=11$ $\quad$ On considère la fonction $g$ définie sur $[0;+\infty[$ par $g(x)=\sqrt{x}$ On veut calculer, s'il existe, $g'(0)$.
Soit f la fonction définie sur ℝ par: f x = 7 x + 1 2; pour tout x de ℝ, f ′ x = 2 7 7 x + 1 2 − 1 = 14 7 x + 1. On a utilisé et. Soit g la fonction définie sur 1 2, + ∞ par g x = 3 2 x – 1 2. La fonction g est de la forme: g = 3 u – 2 où u est définie sur 1 2, + ∞ par: u x = 2 x – 1. Donc g ′ x = 3 × – 2 × u – 3, d'après le résultat. u ′ x = 2 donc g ′ x = – 6 2 x – 1 – 3 = – 6 2 x – 1 3. Soit h la fonction définie sur ℝ par h t = 2 t + 3 e – 2 t + 1 2. La fonction h est le produit des deux fonctions v et w définies sur ℝ par v t = 2 t + 3 et w t = e – 2 t + 1 2. Donc h ′ t = v ′ t × w t + v t × w ′ t, d'après le résultat. v ′ t = 2 et, comme w t = e u t avec u t = 2 t + 1 2, donc u ′ t = − 2, on a: w ′ t = u ′ t × e u t = − 2 e − 2 t + 1 2, d'après le résultat. Donc h ′ t = 2 × e − 2 t + 1 2 + 2 t + 3 × − 2 e − 2 t + 1 2. Les nombres dérivés se. h ′ t = 2 × e − 2 t + 1 2 − 4 t e − 2 t + 1 2 − 6 e − 2 t + 1 2 = − 4 − 4 t e − 2 t + 1 2. Soit k la fonction définie sur − 1 3, + ∞ par k t = ln 3 t + 1. On a k t = ln u t avec u t = 3 t + 1.
Post Scriptum: si vous souhaitez utiliser le fichier de la fonction dérivée utilisée dans ce cours, cliquez sur le lien suivant: Par Thierry Toutes nos vidéos sur nombre dérivé et fonction dérivée
Remarque: Interprétation graphique du nombre dérivé: Soit C f \mathscr{C}_f la courbe représentative de la fonction f f. Lorsque h h tend vers 0, B B "se rapproche" de A A et la droite ( A B) \left(AB\right) se rapproche de la tangente T \mathscr{T}. Le nombre dérivée f ′ ( x 0) f^{\prime}\left(x_{0}\right) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe C f \mathscr{C}_f au point d'abscisse x 0 x_{0}. Les nombres dérivés et. Propriété Soit f f une fonction dérivable en x 0 x_{0} de courbe représentative C f \mathscr{C}_f, l'équation de la tangente à C f \mathscr{C}_f au point d'abscisse x 0 x_{0} est: y = f ′ ( x 0) ( x − x 0) + f ( x 0) y=f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x - x_{0}\right)+f\left(x_{0}\right) Démonstration D'après la propriété précédente, la tangente à C f \mathscr{C}_f au point d'abscisse x 0 x_{0} est une droite de coefficient directeur f ′ ( x 0) f^{\prime}\left(x_{0}\right). Son équation est donc de la forme: y = f ′ ( x 0) x + b y=f^{\prime}\left(x_{0}\right)x+b On sait que la tangente passe par le point A A de coordonnées ( x 0; f ( x 0)) \left(x_{0}; f\left(x_{0}\right)\right) donc: f ( x 0) = f ′ ( x 0) x 0 + b f\left(x_{0}\right)=f^{\prime}\left(x_{0}\right)x_{0}+b b = − f ′ ( x 0) x 0 + f ( x 0) b= - f^{\prime}\left(x_{0}\right)x_{0}+f\left(x_{0}\right) L'équation de la tangente est donc: y = f ′ ( x 0) x − f ′ ( x 0) x 0 + f ( x 0) y=f^{\prime}\left(x_{0}\right)x - f^{\prime}\left(x_{0}\right)x_{0}+f\left(x_{0}\right) Soit: 2.
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